Quanto è difficile trovare una carta Pokémon rara nelle bustine?
“Quante bustine devo aprire per trovare quella carta?”
È una delle domande che prima o poi si pone praticamente ogni collezionista Pokémon.
Magari abbiamo visto una bellissima carta di un'espansione appena uscita e vogliamo trovarla a tutti i costi.
Compriamo una bustina.
Niente.
Ne apriamo un'altra.
Ancora niente.
La terza? Doppione.
La quarta? Una carta rara, ma non quella che cercavamo.
E a questo punto arriva la domanda:
“Ma quanto è davvero difficile trovarla?”
La risposta è interessante perché, dietro l'apertura di una bustina, c'è molta più matematica di quanto possa sembrare.
Prima di tutto: non esiste un pull rate uguale per tutte le espansioni
Partiamo da una precisazione fondamentale.
Non esiste una probabilità universale del tipo:
“Una carta rara Pokémon esce una volta ogni X bustine.”
Ogni espansione può avere una distribuzione diversa.
Cambiano il numero di carte, le rarità presenti, la quantità di carte all'interno delle diverse rarità e, di conseguenza, anche la probabilità di trovare una determinata carta.
Anche Pokémon specifica che il contenuto delle buste è casuale e che non è possibile garantire la presenza di uno specifico Pokémon o di una specifica tipologia di carta in una determinata busta.
Per questo motivo, quando si parla di pull rate, bisogna sempre specificare di quale espansione stiamo parlando.
Che cosa significa “pull rate”?
Il termine pull rate viene utilizzato dai collezionisti per indicare, in maniera semplificata, la frequenza con cui una determinata rarità o tipologia di carta viene trovata nelle bustine.
Per esempio, se da migliaia di bustine analizzate emerge che una determinata rarità compare mediamente una volta ogni 100 bustine, possiamo parlare indicativamente di un pull rate di:
1 su 100
oppure:
1%
Ma attenzione.
Questo non significa che aprendo esattamente 100 bustine troveremo sicuramente quella carta.
Ed è qui che entra in gioco la matematica.
1 su 100 non significa “dopo 100 bustine esce”
Immaginiamo una situazione puramente teorica.
Supponiamo che una determinata carta abbia una probabilità dell'1% di essere trovata in ogni singola bustina.
Possiamo scriverla anche così:
1 possibilità su 100
La tentazione sarebbe pensare:
“Dopo 100 bustine, la troverò.”
Ma non funziona così.
Ogni bustina rappresenta un nuovo evento casuale.
La probabilità che la carta non esca in una singola bustina è:
99%
Dopo due bustine, la probabilità di non averla ancora trovata è:
0,99 × 0,99 = 98,01%
Dopo 10 bustine:
0,99¹⁰ ≈ 90,4%
Quindi la probabilità di averla trovata almeno una volta dopo 10 bustine è soltanto:
9,6%
E dopo 36 bustine?
Facciamo un esempio ancora più concreto.
Un display può contenere 36 bustine, a seconda del prodotto e del mercato.
Con il nostro pull rate ipotetico dell'1%, dopo 36 aperture la probabilità di non aver trovato la carta sarebbe:
0,99³⁶ ≈ 69,6%
Quindi la probabilità di averla trovata almeno una volta sarebbe:
30,4%
In altre parole:
36 bustine → circa 30% di probabilità di trovarla
e
circa 70% di probabilità di NON trovarla.
Questo esempio fa capire quanto possa essere ingannevole ragionare semplicemente in termini di:
“1 su 100 = dopo 100 bustine la trovo.”
E dopo 100 bustine?
Qui il risultato diventa ancora più interessante.
Sempre utilizzando il nostro esempio ipotetico dell'1%:
Probabilità di non trovarla:
0,99¹⁰⁰ ≈ 36,6%
Probabilità di trovarla almeno una volta:
1 − 0,99¹⁰⁰ ≈ 63,4%
Quindi anche dopo 100 bustine avremmo:
63,4% di probabilità di averla trovata
ma ancora:
36,6% di probabilità di non averla trovata.
Quasi 4 possibilità su 10.
Ecco perché una persona può aprire moltissime bustine senza trovare proprio quella carta che cerca.
Un grafico per capirlo al volo
Sempre utilizzando l'esempio puramente ipotetico di una carta con pull rate dell'1%:
Ma allora quante bustine servono per avere una buona possibilità?
Sempre nel nostro esempio dell'1%, possiamo calcolare quanti tentativi servono per raggiungere determinate probabilità.
Per arrivare circa al:
50% di probabilità, servono circa 69 bustine.
Per arrivare circa al:
90%, servono circa 230 bustine.
Per arrivare circa al:
95%, servono circa 299 bustine.
E anche al 95% rimane comunque una piccola possibilità di non trovare la carta.
Questo è il punto più importante della matematica delle probabilità:
una probabilità elevata non è una garanzia.
Ma 1% è davvero il pull rate di una carta Pokémon?
No: questo è un esempio matematico.
Non bisogna prendere l'1% come riferimento generale per tutte le espansioni.
I pull rate reali possono essere molto diversi.
Per esempio, analisi basate su migliaia di aperture hanno rilevato differenze notevoli tra le espansioni moderne.
Per Mega Evolution, un'analisi di oltre 5.000 bustine ha stimato, tra le altre categorie, circa 1 Special Illustration Rare ogni 101 bustine, mentre le Mega Hyper Rare risultavano estremamente più rare, circa 1 ogni 1.260 bustine.
Per Evoluzioni Prismatiche, analisi precedenti avevano stimato le Special Illustration Rare intorno a 1 ogni 45 bustine, mentre le carte dorate erano circa 1 ogni 180 bustine.
Questi numeri mostrano perfettamente perché non possiamo parlare di un unico pull rate Pokémon.
Espansione diversa = distribuzione diversa.
La rarità della carta non è la stessa cosa della probabilità di trovarla
Questo è un altro punto interessante.
Quando diciamo che una carta è “rara”, stiamo parlando della sua rarità all'interno dell'espansione.
Il pull rate, invece, cerca di descrivere quanto spesso quella carta o quella categoria viene trovata nelle aperture.
Le due cose sono collegate, ma non sono esattamente la stessa cosa.
TCGplayer, ad esempio, distingue numerose rarità del GCC Pokémon e sottolinea che non tutte le espansioni includono tutte le stesse categorie di rarità.
Per questo non basta guardare il simbolo della rarità sulla carta e dire:
“È rara, quindi sarà difficilissima da trovare.”
Bisogna guardare come è strutturata quella specifica espansione.
E c'è un'altra differenza: trovare una carta rara non significa trovare QUELLA carta
Immaginiamo che un'espansione abbia diverse carte molto rare.
Potremmo avere, per esempio:
- Carta A
- Carta B
- Carta C
- Carta D
- Carta E
Supponiamo che la probabilità di ottenere una carta di quella determinata categoria sia abbastanza alta.
Questo però non significa che la probabilità di ottenere Carta A sia altrettanto alta.
Potresti trovare una carta della categoria che stavi cercando...
ma non quella specifica.
Ed è proprio qui che il collezionismo diventa molto interessante.
Il problema delle carte più desiderate
Immaginiamo di voler completare un'espansione.
Abbiamo già trovato moltissime carte.
Ci manca però una carta particolarmente ricercata.
Continuiamo ad aprire bustine.
Una.
Due.
Dieci.
Venti.
Nel frattempo accumuliamo:
doppioni, doppioni e ancora doppioni.
Questo succede perché il nostro obiettivo non è più semplicemente trovare una carta rara.
Stiamo cercando:
una carta specifica tra tutte quelle presenti nell'espansione.
Ed è una situazione matematicamente molto diversa.
La “sindrome dell'ultima carta”
Chi ha mai provato a completare un set probabilmente conosce questa situazione.
All'inizio tutto sembra facile.
Apriamo poche bustine e troviamo tantissime carte nuove.
Il raccoglitore si riempie velocemente.
Poi iniziano i doppioni.
Le carte mancanti diminuiscono.
10...
9...
8...
7...
E improvvisamente arriviamo alle ultime carte.
Ed è proprio qui che può iniziare la parte più frustrante.
Perché ogni nuova bustina ha sempre la possibilità di contenere una carta che possediamo già.
Il risultato?
Possiamo aprire moltissime bustine e continuare a non trovare quella che ci manca.
Perché i doppioni aumentano così tanto?
Non è che le bustine “peggiorino” man mano che apriamo.
È la nostra collezione che cambia.
Quando abbiamo poche carte, quasi ogni nuova carta ha buone probabilità di essere qualcosa che non possediamo.
Quando invece abbiamo già una grande parte del set, aumenta la probabilità che una nuova apertura contenga qualcosa che abbiamo già.
È un concetto che in matematica viene collegato al problema del collezionista di figurine, noto anche come coupon collector problem.
L'idea è semplice:
all'inizio è facile trovare elementi nuovi; gli ultimi diventano progressivamente più difficili.
Ed è esattamente quello che molti collezionisti sperimentano quando cercano di completare un'espansione.
Quindi aprire bustine non conviene?
Non necessariamente.
Dipende da quello che stai cercando.
Se il tuo obiettivo è:
divertirti ad aprire
le probabilità fanno parte del gioco.
Ogni bustina è una sorpresa.
Non sai quale carta troverai.
E proprio per questo l'apertura ha un valore che non può essere ridotto a una semplice formula.
Se invece il tuo obiettivo è:
ottenere una determinata carta
il ragionamento cambia.
A quel punto può avere più senso cercare direttamente quella carta come singola.
Il vero valore delle probabilità
La matematica non serve a dirci:
“Non comprare bustine.”
Serve a farci capire che cosa stiamo facendo.
Se apriamo una bustina perché ci piace l'emozione della sorpresa, sappiamo che stiamo pagando anche quell'esperienza.
Se apriamo una bustina con l'unico obiettivo di trovare una carta precisa, invece, dobbiamo essere consapevoli che anche molte aperture non garantiscono il risultato.
E soprattutto:
non dobbiamo confondere la probabilità con la certezza.
Un ultimo esempio: 1 su 100 non significa 100 tentativi garantiti
Torniamo al nostro esempio.
Pull rate ipotetico:
1 su 100
Una persona potrebbe trovare la carta alla prima bustina.
Un'altra potrebbe trovarla alla 20ª.
Un'altra ancora alla 100ª.
E qualcuno potrebbe arrivare a 200 bustine senza trovarla.
Tutte queste situazioni sono compatibili con la stessa probabilità.
Perché il numero “1 su 100” non significa:
“Una carta ogni 100 bustine esatte.”
Significa, semplificando:
“Ogni singola bustina ha quella determinata probabilità.”
È una differenza enorme.
Quindi, quante bustine devo aprire?
La risposta è:
non esiste un numero universale.
Dipende dall'espansione.
Dipende dalla carta.
Dipende dal pull rate della specifica rarità.
E soprattutto dipende dal tuo obiettivo.
Se vuoi semplicemente divertirti, anche una sola bustina può essere sufficiente.
Se vuoi trovare una carta molto rara, potresti aver bisogno di moltissime aperture.
E anche dopo moltissime aperture...
non avrai mai la certezza matematica di trovarla.
La vera lezione è questa
Le bustine Pokémon sono costruite proprio intorno alla sorpresa.
Ogni apertura può regalarti una carta che cercavi da mesi.
Ma può anche regalarti l'ennesimo doppione.
La probabilità ci aiuta a capire perché entrambe le cose possono succedere.
E ci ricorda una cosa importante:
non esiste una bustina “dovuta”.
Se hai aperto 50 bustine senza trovare quella carta, la 51ª non è obbligata a dartela.
È semplicemente...
un'altra possibilità.
Ed è proprio questa incertezza a rendere così emozionante l'apertura di una bustina Pokémon.
Ogni carta ha una storia.
